Rotman, An Introduction to
Homological Algebra를 정리하고자 작성하였습니다.
먼저 Homology 는 위상 수학에 근거하여 발전되었다. 호몰로지에서 주로 다루는 것은 수학적 표현인 아벨 군, 모듈에 대응 시키는 과정이 된다. 주로 나오는 Tensor와 Hom의 표현을 가지고 이러한 군과 모듈에 대응시키는 과정들을 배울 것이다.
Homology를 직접적으로 배우기전, Chapter 1~ Chapter 5까지의 정의를 잘알고 익숙해 지는 것이 매우 중요하다. (군, 모듈, 펑터 들이 해당)
1.0 아벨군
Abelian group (Commutative group)은 Commutative Operation이 적용되는 그룹이다.
$$(A,\cdot), \text {The set and operation}$$
여기서 점으로 표시하는 것은 어떠한 Operator라는 뜻이다. 이 점에는 우리가 흔히 알고 있는 +, x, 역함수와 같은 것들이 포함될 수 있다.
아벨군임을 확인하기 위해서는 아벨 군 공리(abelian group axioms)를 만족해야 한다. 공리라는 것은 크게 어렵지 않다. 이는 Associativity, Commutativity 가 성립하면 되고, Identity element, Inverse Element가 존재 하면된다.
$$ \forall a,b,c,e \in A $$
Associativity
$$a\cdot b) \cdot c= a \cdot (b \cdot c)$$
Commutativity
Identity Element
$$a\cdot e = e \cdot a= a$$
Inverse Element
$$ a \cdot b = b \cdot a= e$$
집합 A가 실수 집합이라면, 아벨 군의 성질은 만족한다. 대표적인 예로 + operator로 생각해보자. 이는 다음과 같이 표현한다.
$$(\mathbb{R},+)$$
실수 집합과 + 연산에 대하여 각각 예를 들어 생각해보면, 결합 (Associativity), 교환 (Commutativity), 항등원 (Identity element), 역원 (Inverse Element)가 존재하는 것을 알 수 있다.
$$(1+2)+3=1+(2+3) $$
$$(1+2)=(2+1) $$
$$(1+0)=(0+1) =1 $$
$$(1-1)=(-1+1) =0 $$
수학적인 예시를 가지고 생각해보면, 어려웠는데 간단하게 예를 가지고 생각해보니 그렇게 어렵지 않은 것을 알 수 있다.
해당 포스팅은 수학에 대한 무서움을 떨쳐내고 Homology 또한, 천천히 한걸음씩 나아가는 것을 목표로 하고 있다.
1.1 Simplicial Homology
Homology는 직관적으로 구멍의 개수에 관한 문제가 된다.
Let X be an open set in the plane and fix point a and b in X.
$$\text{Given path (from a to b) }\beta \text{ in }X, \text{ and given a pair P(x,y), Q(x,y)}$$
위의 경우 주어진 경로 beta 에 대하여 선적분 값을 구하는 과정을 생각해보자.
$$ \int_\beta Pdx +Qdy$$
위 적분 값과 동일한 값을 경로 beta'이 존재한다고 생각해보자.
$$ \int_\beta' Pdx +Qdy =\int_\beta Pdx +Qdy $$
$$ \int_\beta' Pdx +Qdy -\int_\beta Pdx +Qdy =0$$
이는 완전 미분의 형태를 나타낸다. 순환 적분의 형태( a -> b ->a)로 나타낼 수 있다. 순환 하는 경로를 gamma를 나타낼 수 있다.
$$\gamma = \beta - \beta'$$
$$\int_\gamma Pdx + Qdy = 0$$
gamma 영역 안에 z_i 라는 Bad point들이 존재 한다고 보자. 이는 gamma에 따라서 적분하는 동안 Bad point들로 인해서 영향을 받게 될 것이다. (Hole이 뚫린 상황)
Bad point들이 포함된 영역을 다음과 같이 정의 해본다고 생각하면, 적분을 수학적인 형태로 나타낼 수 있게 도니다.
$$ z_i \in \gamma_i, z_i \notin \gamma_j, \text{where } i \neq j $$
$$ \gamma_i \subset \mathbb{R}^2$$
주어진 영역을 구하는 과정은, 전체 영역에서 구멍뚫린 부분을 빼주면된다.
$$\int_\gamma Pdx +Qdy +\sum_i^n\int_{\gamma_i}(Pdx+Qdy) =\int\int_R (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})$$
gamma와 gamma_i의 방향이 반대임으로 -가 아닌 +의 형태로 수식을 나타냄.
z_i와 z_j는 independent함에 따라 우리는 path들을 선형 결합된 형태로 나타낼 수 있을 것이다. 당연하게 아벨 군에 속한 요소들은 Basis와 계수간의 선형 결합된 형태로 나타낼 수 있을 것이다.
G[Y] 가 Y의 Basis로 아벨군이라고 하면, g는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$g\in G[Y], g=\sum_{y \in Y} m_y y$$
X안에 포함된 경로에 대해서 방향은 + 1 또는 -1의 계수가 있다. 이에 전체 경로를 포함한 식은 아래와 같이 표현될 수 있다.
$$\int_{m\gamma+\sum_i m_i \gamma_i} Pdx +Qdy = 0 $$
위 의식을 아벨군의 베이시스와 계수의 결합된 형태로 표현하면 아래와 같다.
$$\beta = \sum_i m_i \sigma_i, \beta' = \sum_i m_i' \sigma_i, $$
$$\beta \text { and } \beta ' \text {equivalent}, \forall (P,Q) \, with \frac{\partial Q}{\partial X} = \frac{\partial P}{\partial y} $$
이 경우 선적분의 값은 동일하게 되며, 이러한 것을 homology class라고 표현한다.
Homology finite simpicial complex
여태 까지 Homology 표현을 위해서 선적분 형태로 나타내었다. 이러한 선적분 값이 아닌 경우에도 Homology는 정의할 수 있다. topological space(위상공간) X에서 다른 hole이 연결성이 있다는 것을 알게 되었다. 이를 설명하기 위해서 simpicial complex개념이 필요하다. simplicial complex는 단체 복합체로 위상 공간을 단체들로 분할하는 구조이다.
위상 공간이 유한한 단체 복합체로 구성되어 잇다고 보자. 또한 이 공간은 삼각 메시 형태로 바타 낼 수 있다고 보자.
먼저 경계면에 대해서는 n-simplex 형태로 나타낼 수 있다. n-simplex는 경계면의 정보를 가지고 나타낸다.
$$0-simplex \to point ({v_1, \cdots, v_q}) $$
$$1-simplex \to line ([v_i,v_j])$$
$$2-simplex \to Triangle ([v_i,v_j,v_k])$$
$$3-simplex \to Tetrahedra ([v_i,v_j,v_k,v_l])$$
여기서 simplex는 hole라는 개념을 쉽게 설명하기 위한 예시이다. 만약 X공간에서 a 에서 b까지 가는 경로가 없다면 우리는 0 차원 홀이라고 한다. Line missing인 경우네느 1차원 hole이라고 한다. 우리는 hole의 사이즈는 고려하지 않지만, 이에 대한 경계면 표현은 신경 써주어야 한다.
경계면의 표현
2 simplex의 삼각형의 경우 절점 3가지로 연결되어 있다. a,b,c로 본다면 이는 1-simplexes들의 조합으로 표현할 수 있다.
$$\partial[a,b,c]=[b,c]\cup - [a,c]\cup [a,b]$$
$$ \partial[a,b,c]=[b,c]- [a,c] + [a,b]$$
마찬가지로 1simplex line의 경계면에 대해서도 0-simplex인 점형태로 나타낸다.
$$\partial [a,b] = b-a \in C_0(X)$$
그러면 당연하게도, 삼각형 abc에 대한 식에 대한 boundary의 boundary는 0차원 형태로 나타내볼 수 있게 도니다.
$$\partial(\partial[a,b,c])) =\partial([b,c],-[a,c]+[a,b])$$
$$=(c-b)-(c-a)+(b-a) = 0$$
Definition 1. Simplicial boundary maps
$$ \partial_n :C_n(X) \to C_{n-1}(X)$$
$$ \partial_n [v_0,\cdots,v_n] = \sum_i^n(-i)^n[v_0,\cdots,\hat{v_i},\cdots,v_n]$$
$$\text{where, } \partial_n \text{ simplicial boundary maps} $$
여기서 hat이 씌워진 표현은 해당 점을 뺀 것을 의미한다. 위의 Definition을 이용해서 삼각형 Boundary를 다시 표현한다면 아래와 같다.
$$\partial [v_0,v_1,v_2] = \sum_{i=0}^2(-i)^0[v_0,...,\hat{v_i}] $$
$$\sum_{i=0}^2(-i)^0[v_0,...,\hat{v_i}] = ([\hat{v_0},v_1,v_2]) -([v_0, \hat{v_1},v_2])+([v_0, v_1,\hat{v_2}]) $$
$$=[v_1,v_2]-[v_0,v_2]+[v_1,v_2]$$
Proposition 1.1
$$ \forall n>0, \partial_{n-1}\partial_n = 0$$
이 경우도 삼각형의 예시로 확인해보았다. 증명의 경우 조금 복잡함으로 일단은 패스하자.
Definition 2. Simplicial n-cycles and simplicial n-boundaries
$$ \forall n\leq 0, \partial_n \subseteq C_n (X) \text{ is denoted by } Z_n(X)$$
이것의 요소들은 SImplicial n-cycles로 정의한다.여기의 Subgroup 대해서는 Simplicial n-boudnaries 라고 정의한다.
$$ \parital_{n+1} \subseteq C_n(X) \text{ is denoted by } B_n(X) $$
Corollary 1.2
당연하게 따름 정리로 Z에서 뽑아낸 B는 Z안에 속하는 부분공간이 된다.
$$ B_n(X) \subseteq Z_n(X)$$
Definition 3.
마지막 Definition으로 Simplicial homology group을 정의한다. 이는 아래와 같이 표현한다.
$$H_n(X)= Z_n(X)/B_n(X)$$
quotient group Z_n/B_n 의 교집합(intersecting group)이라고 하며, 여기에 존재하는 group을 n차원의 홀로 정의한다.
Simplicial homology에 대해서 알아보기 위하여 몇가지 예시를 이용하였다. 하지만, 명확하게 무엇이다!! 라고 생각이 들기는 어려운 챕터이다. 이 부분을 제대로 이해하기 위해서는 뒷 부분 내용들을 다시 공부하고 와야 제대로된 이해가 가능할 것이다.
일단은 여기까지 어떠한 정의가 있었다고 정도만 알고 넘어가는 것으로 만족하자.
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