Pharos University ME 253 Fluid Mechanics II - ppt video online download

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Pharos University ME 253 Fluid Mechanics II - ppt video online download : External External Flows Bodies in motion, experience fluid forces and moments. Examples include: aircraft, automobiles, buildings, ships, submarines, turbo machines. Fuel economy, speed, acceleration, stability, and control are related to the forces and moments. Airplane in level steady flight: drag = thrust & lift = weight.
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엔트로피 모두 파헤치기

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엔트로피 모두 파헤치기

엔트로피는 통계, 상태수,자발성 3가지로 표현할 수 있습니다. 여러 군데의 포스팅에서 엔트로피를 불확실성으로 표현합니다. 이에 대한 물리적인 의미를 설명드리고자 포스팅을 진행하게 됐습니다. 또한, 화학공학에서의 엔트로피는 어떻게 개발되고, 응용되었는지 다루고 있습니다.

Motivation

통계적인 개념은 머신러닝, 반응공학 등등 실제로도 많은 곳에 쓰이고 있습니다. exponential 함수를 보게된다면 한번쯤은 엔트로피와 관련이 있는지 확인해봐야 합니다. 여기서 exponential 함수는 어떠한 확률이라는 숨은 의미를 가지고 있습니다.

머신러닝의 경우 Activation function (Sigmoid)라고 하죠? 어떠한 상태가 Activate 시키는지에 대한 판단하는 함수로 사용됩니다. 이러한 function도 exponential함수를 바탕으로 하고 있습니다.

​이와 비슷하게 Activate 시킨다는 것은 화학공학에서 반응속도 상수에서 볼 수 있습니다. 반응속도상수의 의미는 확률 * 빈도수로 말해줍니다. 아레니우스 식에서 exponential 관련 Term이 확률을 의미하고, frequency factor (A)가 빈도수를 나타냅니다.

엔트로피 증가 법칙 - 열역학 제 2법칙

기본적으로 “열역학 제 2법칙으로 무질서도는 증가한다.” 정도는 모두 기억하고 있으실 것입니다. 여기서 무질서도란 기체분자가 어떠한 상태로 놓일 수 있는가를 말해줍니다.

시작은 자발성의 여부를 판단하기 위해서 시작되었습니다. Rodoulph Clausius는 엔트로피의 개념은 가역적인 열전달에 따른 온도가 어떻게 될지에 대해서 생각해낸 것입니다. 이는 화학공학에서 흔히 알고 있는 최대 열효율의 개념을 설명하기 위해서 시작 된 것입니다.

온도는 분자의 운동량을 표현해주는 지표입니다. 기체의 분자들이 어떻게 운동하는지 알게되면, 우리는 전체 Energy에 대해서 알 수 있습니다. 하지만, 기체 분자의 경우 많은 분자수가 많기 때문에 전체적으로 해석을 해주기 어렵습니다.

많은 경우의 수를 해석하기 위해, 통계를 도입할 수 밖에 없게됩니다. 이러한 개념을 가지고 해석을 시작하신 분이 볼츠만 (Ludwig Eduard Boltzmann) 입니다.

화학공학에서의 응용 - 최대 온도 구하기

먼저 간단하게 가역적인 열전달 관계를 가지고 엔트로피를 생각해보겠습니다. 엔트로피를 정의를 해볼 수 있습니다. 가역과정에서 에너지를 받는 것을 정의 해주다면, 최대 Energy를 정의해줄 수 있다고 생각해보겠습니다.

그러면 이 양을 정량적으로 표현을 해주게 된다면, 그 System이 낼 수 있는 최대의 Energy를 알 수 있게 됩니다. 엔트로피는 열량은 온도에따라 민감하니 온도로 나눠서 표현을 해준 것입니다

ds≡δqT \begin{equation} ds\equiv \frac{\delta q}{T} \end{equation}

이 식은, 열변화량에 따라서 Energy를 얼마나 받을 수 있는지에대해서 알 수 있게 됩니다. 등엔트로피 과정은ds=δq/T=0ds = \delta q /T= 0인 단열 과정인 상태를 말해줍니다.

이러한 경우에는 내부에너지 식의 과정을 살펴보겠습니다. 아래와 같이 써줄 수 있겠죠?
dU=δQ+δW, whereδQ=0∵ds=0=CvdT=−PdVPV=RT→d(PV)=pdV+vdP=RdT→dT=PdV+VdPR \begin{align} dU&=\delta Q+\delta W, \, where \delta Q=0 \because ds=0 \\ & =C_vdT=-PdV \\ PV&=RT \rightarrow d(PV)=pdV+vdP=RdT \rightarrow dT=\frac{PdV+VdP}{R} \\ \end {align}
dT에 대하여 나타내었고, 다시한 번 dT를 가지고 정리하면 다음과 같습니다.
CvdT=Cv​(PdV+VdP)R​=−PdV(Cv+R)PdV=−CvVdP,where Cp=Cv+RCpdVCvV=−dPP→CpCvd(lnV)=−dlnP \begin{align} C_vdT &=C_v​\frac{(PdV+VdP)}{R}​=−PdV \\ (C_v+R)PdV &=-C_vVdP, where\, C_p=C_v+R \\ \frac{C_pdV}{C_vV}&=\frac{-dP}{P} \rightarrow \frac{C_p}{C_v}d(lnV)=-dlnP \\ \end {align}
Volume은 고정이 되어 있기 (상수) 때문에 온도와 압력관의 관계를 통해서 나타내주게 됩니다. V를 이상기체 방정식을 통해 T로 변환을 시켜줍니다.
PV=RTlnP+lnV=lnR+lnTd(lnV)=−d(lnP)+d(lnT) \begin{align} PV & = RT \\ lnP+lnV & = lnR + lnT \\ d(lnV) &=-d(lnP)+d(lnT) \\ \end{align}
식 (10)에 식 (7) 관계식을 대입을 하게되면 최종적으로 온도오 압려의 대한 관계를 유도할 수 있습니다.
CpCv(−d(lnP)+d(lnT))=−d(lnP)∴CpCv(d(lnT))=d(lnP)(CpCv−1) \begin{align} \frac{C_p}{C_v}(-d(lnP)+d(lnT)) &=-d(lnP) \\ \therefore \frac{C_p}{C_v}(d(lnT)) &=d(lnP)(\frac{C_p}{C_v}-1) \end{align}
이렇게 되면 압력 변화에 따라서 온도가 얼마나 변화하는지 대략적으로 측정해줄 수 있습니다. 이러한 개념을 응용하게 되면, 반응기의 최대 온도를 구해줄 수 있습니다.​

사실 최대 온도를 구하는 과정은 이렇게 쉽지는 않습니다. 압력 변화에 따른 온도 변화를 무시한채 반응열만 가지고 해석을 하게 됩니다.

만약 온도가 올라가는 반응이 있다면 이는 이 발열반응이라는 것은 Potential energy가 Surrounding으로 전달되어 전체 기체분자운동 Energy로 변환되는 것입니다. 온도 변화에 따라서 평형점도 달라지게 됩니다. 이러한 모두가 엔트로피와의 관계로 설명 해줄 수 있습니다.

무질서도 또는 불확실성 이란?

한국말로 무질서도라고 하니 조금 감이 안잡히네요…

정확한 의미는 어떠한 energy level 이 있는 경우에 분자가 배열 될 수 있는 경우의 수를 말해줍니다. 경우의 수는 분자간에 배열 뿐만 아니라 분자 내의 electron의 배열도 포함하고 있습니다. 즉, 모든 상태를 가지고 조합이 가능한 정도를 말해주게 됩니다. 이는 에너지 상태의 조합을 말하게 됩니다.

만약, Cracking 반응의 경우 분자수가 증가하는 반응이 되게됩니다. 분자들이 많아지기 때문에, 분자간의 조합으로 만들 수 있는 배열들이 많아집니다. 이를 무질서도가 증가한다고 말해줄 수 있습니다. 실질적인 의미는 다양한 Energy 상태로 존재할 수 있음을 말합니다.

고온에서 저온으로 이동하는 열전달의 경우가 있다고 보겠습니다. 이러한 경우 엔트로피는 전체 분자간의 조합상태로볼 수 있겠습니다. 대략적으로 그림으로 나타내면 아래와 같습니다.

엔트로피 혼합과정 모식도

초기 상태대비 나중 상태가 조금더 가능한 여러 배열조합이 되게됩니다. 이게 무질서해보여서 무질서도라고 이름을 지어준듯 합니다.

볼츠만의 엔트로피 (통계적 관점)

볼츠만은 이러한 배열 상태를 가지고 Energy를 표현해보고자 합니다.

엔트로피의 미시적 관점

모든 조합의 수를 W로 나타내고 우리는 이를 앙상블 크기라고 말합니다. 만약 N개의 particle이 있고 k state개의 상태가 있다고한다면, W는 Permutation(순열) 으로 나타낼 수 있습니다.

예시

만약 6개의 Particle이 4개의 state로 조합해서 나타낸다면 총 6!/(3!2!1!0!)으로 나타내줄 수 있습니다.

수식으로 간단하게 표현하면 아래와 같습니다.

_6P_3 {_3}P_2 {1}P_1\cdot 1 =\frac{6!}{\Pi{k=1}^4 f(k)!}, f(1,2,3,4) =[3,2,1,0] \
sum(f(k))=N \
f(k)=N_i

f(k)는 k의 state에 있는 분자 배열 조합을 말합니다. 이를 W로 표현을 해주면 다음과 같은 식이 정리됩니다.

W=\frac{N!}{\Pi_{i=1}^kN_i!}

미시적 관점에서의 엔트로피

이제 이를 W를 Probability로 한번 표현을 해줄 예정입니다. 이 경우에는 분자의수는 크기 때문에 Stiring 근사가 필요합니다.

여기서 [latex]P_i[/latex]는 i state가 분자가 있을 확률로 볼 수 있습니다.

해당 유도과정은 우리는 엔트로피가 어떠한 조합에 대한 확률을 말하는 것을 알 수 있습니다. 엔트로피는 거시적인 관점에서 해석이 되니 볼츠만 상수를 가지고 미시적 관점에서 거시적 관점으로 연결해주는 상수라고 표현을 하기도 합니다.

활성화 Energy의 의미

Canonical Distribution

미시적 관점에서 바라본 시스템을 조금더 구체적으로 확장을 해야합니다. 위 해석의 경우 조그만 시스템을 가지고 해석한 경우입니다. 이를 큰 시스템으로 옮기게되면 온도와 관련된 Term이 나오는 것을 확인해볼 수 있습니다.

자세한 유도과정은 여기를 참조해주세요 (이전 블로그 입니다.) Energy term에서 확장을 하게되면 위의 식은 다음과 같이 나오게 됩니다.

여기서 exp(−Ei/kbT)exp(-Ei/k_bT) 는 분자의 energy 확률 분포 함수를 말하고 아래는 전체 System의 존재하는 분자 Energy상수를 말합니다.

분자수준에서 반응 속도식을 표현한다면, 아레니우스 식으로 표현할 수 있습니다. 먼저 아레니우스 식은 다음과 같이 정의 됩니다.

k=Aexp(−EaRT)k=Aexp(-\frac{E_a}{RT})

exp(−EakbT)exp(-\frac{E_a}{k_bT}) term은 EaE_a이상 가지는 분자들을 말해주는 것을 알 수 있습니다. 해당 과정은 머신러닝에서 쓰이는 Activation 함수인 시그모이드 함수와 동일한 효과를 가집니다.

Softmax

어디서 많이 보던 Term아닌가요? 머신러닝 하시는 분들에게는 Softmax로 알려졌습니다. 이는, 결론적으로 Energy가 어떻게 분포할 수 있는지에 대한 확률을 말해줍니다. 즉, Softmax는 i state에 있을 확률을 말해주는 확률 함수임을 확인할 수 있습니다.

정보 엔트로피 (will be improved)

정보에서도 Entropy 또한 분포함수를 말하게 됩니다. 하지만 불확싱성이 높다라는 것은 여러 정보의 배열이 가능하다라는 것을 의미하게됩니다.

Cross entropy (will be improved)

실제 사용적인 관점에서 소개드리자면PlnPPlnP는 최대로 가잘 수 있는 조합 상태를 말합니다. 반면, P분포에 Q분포를 가진다고 생각해보겠습니다. 이러한 경우 최대 분포는 아니지만 추측을 해볼 수 있는 entropy가 됩니다.

H(p,q)=Ep(x)lnq(x)H(p,q)=\mathbb{E}_{p(x)} lnq(x)

여기서 최대의 분포를 얻는 과정을 KL divergence라고 합니다.

Transition state theory (기타)


엔트로피는 통계, 상태수,자발성 3가지로 표현할 수 있습니다. 여러 군데의 포스팅에서 엔트로피를 불확실성으로 표현합니다. 이에 대한 물리적인 의미를 설명드리고자 포스팅을 진행하게 됐습니다. 또한, 화학공학에서의 엔트로피는 어떻게 개발되고, 응용되었는지 다루고 있습니다.

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