Wiener Process 는 연속적인 시간에서 Simple한 Random walk를 말해줍니다. Wiener는 MIT 교수로 Brownian Motion을 가지고 주식과 옵션을 해석하려고 했던 분입니다. Brownian motion은 확률 적인 해석을 하는 대표적인 물리현상입니다. 확률 프로세스에서는 물리적 현상이 많이 응용됩니다. (연구가 많이 되어서 여러가지 이론들이 접목이 가능함) 또한, 확률 프로세스를 배우다보면, 옵션을 하면 안되는 것임을 알 수 있습니다.
Random Walk는 확산 법칙을 배우다 보면, 한번씩 접해 보셨을 수도 있습니다. 가장 쉬운 1D 공간에서 알아보겠습니다.
동전을 던져서 앞면이 나오면 옆으로 한칸, 뒷면이 나오면 뒤로 한칸 이동한다고 하겠습니다.
기준점에서 n번 시행 후 얼마나 이동했을 지에 대한 평균 값은 E(X)=0 될 것입니다. 이 경우보다 조금 더 복잡한 과정이라고 한다면, 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률이 다른 경우가 됩니다. 또한, 한칸이 아니라 \Delta x 만큼 이동한다고 보겠습니다.
\begin{aligned}E(X) &=\Delta x p -\Delta x(1-p)\end{aligned}
Random walk 시스템에 대해서 평균 값과 분산은 위 정의에 따라 쉽게 구해줄 수 있게 됩니다.
Random Walk에서 간단하게 평균 값을 구해보았고, 여기서 조금 더 확장해서 연속적인 시간에 대해서 해석을 한것이 Wiener Process라고 할 수 있겠습니다.
\begin{aligned}X(t) &=\Delta x (X_1+X_2+...X_{\frac{t}{\Delta t}}) \\E(X(t)) &=\Delta x p -\Delta x(1-p) = \Delta x \frac{t}{\Delta t} (2p-1)\\\end{aligned}
어려워 보이지만, t/\Delta t =총 동전 던진 횟수 로 해석하면 쉽게 해석이 가능합니다.
이 Wiener process의 Variance는 시간에 대한 함수로 나타내는 것이 특성입니다. 이는 앞으로 Stochastic Differential Equation(SDE)을 풀어가는데 있어서 매우 중요한 특징으로 나오게 됩니다.
\begin{aligned}Var(X(t)) &=E(X^2(t)) - E(X(t)) \\ &=\Delta x^2 (n+n(n-1)(2p-1)^2- n^2 (2p-1)^2) \\ & =\Delta x^2 n(1-(2p-1)^2) \\ & =\Delta x^2 \frac{t}{\Delta t}(1-(2p-1)^2) \\\end{aligned}
만약 p=1/2 \, \Delta x=\sqrt{t} 라면 분산은 t로 나오게 됩니다. 추가로 x와 시간의 관계는 상대성 이론에서 볼 수 있는 관계가 됩니다.
SDE에서는 분산의 정의에서 E(X^2) 을 쉽게 표현을 해줄 수 있기 때문에, 확률에 대하여 미분적 해석이 가능하도록 도와줍니다.
여기에 간단한 proposition이 있습니다. \phi : Cumulative Distribution.
\begin{aligned}P(M(t)>=a) &= 2P(B(t)>a)=2-\phi ((a/\sqrt{t}))\end{aligned}
간단하게, 생각해보면 대칭인 상태로 구해준다고 볼 수 있습니다. 증명과정은 간단합니다.
만약 \tau_a = min { s: B(s)} 라고 하겠습니다. 이는 위치가 a가 되면 멈추는 최소 시간이라는 뜻입니다.
P(B(t)-B(s)> 0) = P(B(t)-B(s)< 0) \\P(B(t)-B(\tau_a) > 0 | \tau_a < t) = P(B(t)-B(\tau_a) < 0 | \tau_a< t) \\P(B(t) > a | \tau_a< t) = P(B(t)< a | \tau_a < t) \\P(M(t) > a) = P(\tau_a < t) \\[/katex]
P(M(t)>a) = P(\tau_a< t) [/latex] 이 식의 의미는 Stop기준을 Minimum을 잡았기 때문에 위 조건이 성립합니다. [latex] \tau_a [/latex] 이상 지나게 되면 M(t)>a가 된다는 말이죵 ㅎㅎ..
여기서 reflection principle을 도입할 건데, 간단한 예제로 생각해 볼 수 있습니다.
P(\tau_a) > t = P(B(t) > a | \tau_a < t) + P(B(t) < a | \tau_a < t) [/latex]이렇게 되면 [latex] 2P(B(t)>a|\tau_a < t) [/latex] 를 만족하는 것을 확인할 수 있습니다.
exponential 함수와 Wiener process가 결합하는 경우에 대하여 Geometrical Brownian Motion이라고 말해줍니다.
해당 경우의 Varaince와 평균 값은 아래와 같게 됩니다.
Drift와 함께 Brownian Motion이 있는 경우를 생각해 볼 수 있습니다. 이러한 경우에 Wiener process로 나타나는 것을 확인할 수 있습니다.
여기에서 Variance를 확인한다면, SDE에 어떻게 응용이 가능한지 확인해볼 수 있습니다.
감사합니다.
댓글
댓글 쓰기