확률미분방정식 Stochastic Differential Equation (SDE)는 Wiener Process의 연장선이라고 말할 수 있습니다. 먼저 Wiener Process에 대해서는 여기를 클릭해서 확인할 수 있습니다.
확률미분방정식 SDE는 보통적인 방법으로는 미분이 어렵습니다. 평균에 대한 미분 값을 가지고 해석을 해주게 됩니다. 이를 잘 정의하기 위해서 ITO가 식을 정리하게 되었는데, 이는 Wiener process에서는, 분산은 시간의 값으로 나타나는 성질을 응용한 것입니다.
SDE를 해석 과정은 martingale이라는 것인지 확인을 해주게 됩니다. 해설 결과를 보게되면, Boundary Condition에 의존하는 것을 알 수 있습니다. 이는 금융상품에서 발행하는 옵션, 펀드상품에 해당합니다. 즉, 증권사에서 펀드나 옵션상품은 겉으론 좋아보일 순 있지만, 사는 고객들은 모두 손해보는 시스템이 됩니다.
Martingale 특성은 t 도메인에서 s 도메인으로 바로 해석할수 있다는 장점이 있습니다.
Martingale 특성을 통해 평균 값이 어떻게 표현 되는지 분석하는데 사용 됩니다. 특성 분석은 일반적인 함수가 확률 변수에 대하여 어떻게 나타나는지 알수 있습니다. Wiener Process 여러가지 성질들은 martingale 특성이 있습니다.
\begin {align}E(W_t | \mathcal{F}_s) & =W_s \\ E(W_t^2 -t | \mathcal{F}_s) & =W_s^2-s \\E(exp(W_t -\frac{t}{2}) | \mathcal{F}_s) & =exp(W_s -\frac{s}{2})\\\end {align}증명 과정은 간단하게 해볼 수 있는데 핵심 idea만 보이도록 하겠습니다. E(W_t - W_s +W_s \ \mathcal{F}_s) 여기서, t-s와 s는 서로 독립적( Orthogonal) 하기 때문에 0으로 나오게됩니다.
proof \\\begin {aligned}E(W_t | \mathcal{F}_s) & =E(W_t -W_s+W_s| \mathcal{F}_s) \\& =E(W_t -W_s| \mathcal{F}_s) +E(W_s| \mathcal{F}_s) \\& = 0+ W_s \\E(W_t^2 | \mathcal{F}_s) & =E((W_t-W_s)^2+2W_sW_t-W_s^2| \mathcal{F}_s) \\& =E((W_t-W_s)^2| \mathcal{F}_s) +2E(W_sW_t| \mathcal{F}_s)-E(W_s^2 |\mathcal{F}_s)) \\& = t-s+2W_sE(W_t| \mathcal{F}_s)-W_s^2 \\& = t-s+2W_s^2-W_s^2 =t-s+W_s^2 \\\end{aligned}이 두개를 잘 조합해주면, (1)~ (3)까지 잘 풀어줄 수 있습니다. t-s가 나오는 값은 Wiener process에서 나온 분산 결과 값으로 해석해주시면 됩니다. 추가로 \mathcal{F}_s 는 Field인데, 대략 확률 분포로 해석해주시면 됩니다.
\begin {align}E(e^{\theta W_t} |\mathcal{F}_s) &= e^{\theta W_s}e^{1/2\theta^2(t-s)} \\E(L_t |\mathcal{F}_s) &= L_s, where \, L_t=e^{-\frac{1}{2} \theta^2t-\theta W_t}\end {align}(5)의 Lemma는 나중에 정규화작업을 하게되는 Girsanov Theorem에 사용됩니다.
Ito Calculus는 확률 프로세스에서 어떻게 미분을 정의 할 것인가, 적분을 어떻게 할 것인가?에 대하여 이론들을 잘 정리해둔 것입니다. 다만, 계산을 위해서는 Martingale을 가정하고 해당 특성을 이용하는 것입니다.
먼저 ITO integral입니다. 먼저 일반 상미분 방정식 (ODE)와 관계를 살펴보겠습니다.
x^2(t)=2\int_0^{t} x(s)ds, \rightarrow d(x^2(t))=2d(\int_0^{t} x(s)ds)확률적인 관계에 적용을 한다면, 최소한 “평균에 대하여 위의 상미분 방정식의 특성이 만족하면 좋겠다” 라는 아이디어 에서 시작합니다.
먼저, Martingale이라고 보고 ITO calculus는 시작합니다. 대표 성질인 E(W_t^2-t | \mathcal{F}_s) =W_s^2 -s 에 대한 것을 응용해보도록 하겠습니다. 위에서는 단순히 x^2 이었지만, ITO 에서는 W_t^2-t 를 가지고 일반 상미분 방정식과 유사하게 만들어 보려고 했습니다.
W_t^2 -t = 2\int_0 ^{t} W_s dWs여기서 t를 가지고, 적분 형태로 나타낸 뒤에, 다시 미분에 형태로 나타내면 ITO에 form이 됩니다.
\begin {align}W_t^2 &= 2\int_0 ^{t} W_s dW_s +\int_0^tds \\ d(W_t^2) &=2W_tdW_t+dt\end {align}(7)의 형태로 나타나는 것은 Wiener process에서 나타나는 분산의 형태가 시간으로 나타나기 때문입니다. 7번식을 다시 풀어 준다면 W_t 에 대한 적분 값을, 아래와 같이 만들어 줄 수 있습니다.
W_tdW_t=d(W_t^2)-dt \\\therefore \int_0^tW_sdW_s =\frac{1}{2}(W_t^2-t)가정에서 시작했지만, Martingale의 특성을 가지고 정의를 했습니다. 이에 ITO Calculus를 사용하기 위해서는 Martingale을 보여주면 됩니다.
일반 미분의 형태를 보면 다음과 같이 써줄 수 있습니다.
df(t,x)=\frac{\partial }{\partial t} f(x,t) dt+\frac{\partial }{\partial x} f(x,t) dx여기서 df(t,x) 를 Taylor 전개를 해줘서 2차항 까지 보도록 하겠습니다.
df(x,t)=\frac{\partial }{\partial t} f(x,t) dt+\frac{\partial }{\partial x} f(x,t) dx+\frac{\partial^2 }{\partial t^2} f(x,t) dt^2+\frac{\partial^2 }{\partial x^2} f(x,t) dx^2dt^2 은 0에 근접하고, dx^2 은 wiener process에 의해 x로 나타날 수 있습니다. 이를 표현한 것이 ITO formula 라고 합니다.
df(x,t)=\frac{\partial }{\partial t} f(x,t) dt+\frac{\partial }{\partial x} f(x,t) dx+0+\frac{\partial^2 }{\partial x^2} f(x,t) dt \\df(x,t)=(\frac{\partial }{\partial t} f(x,t) +\frac{\partial^2 }{\partial x^2} f(x,t) )dt+\frac{\partial }{\partial x} f(x,t) dx+0 여기서 Wiener process로 가니 dx=dW_t 로 변환 시켜서 해석할 수 있습니다.
f(t,W_t) = f(0,W_0)+\int_0^t \frac{\partial}{\partial s}f(s,W_s)+\frac{1 \partial^2}{2\partial x^2}f(s,W_s)ds+\int_0^t \frac{\partial}{\partial x}f(s,W_s)dW_sY_t=exp(X_t)
먼저 X_t 를 우리가 알고 있는 기본적인 형태인 Drift가 있는 형태의 Wiener process로 만들어 줘야합니다. E(X_t)] 를 만들어 주면 되겠죠? 그러면 대충 X_t 를 X_t=(\mu - 0.5 \sigma^2) t +\sigma W_t 정의 해주면. Y_t 에 대하여 기대 값은 다음과 같이 됩니다.
\begin {align}Y_t &= exp(X_t) =exp(\mu t-0.5 \sigma^2t+\sigma W_t) \\E[Y_t] &= E [exp(X_t)] =exp(\mu t)E[exp(-0.5 \sigma^2t+\sigma W_t)]=exp(\mu t) \\\end{align}(9)번식에 중간에 있는 값이 1로 나타나는 trick들은 많이 쓰이니 기억해주시면 좋습니다. 이렇게 되면 뭔가 우리가 기대되는 형태의 값이 나온 듯 합니다. 간단한 예시로 부터 우리는 X_t SDE로 표현이 될 수 있는지 확인할 수 있습니다.
\begin {align}y &= e^x \rightarrow dy=ydx \\dY(t) &=Y(t)'dX_t+0.5Y''(t)dX(t) =Y(t)dX_t+0.5Y(t)dX(t)^2 \\dX_t &= (\mu-0.5 \sigma^2)dt+ \sigma dW_t, (dX_t)^2=\sigma^2dt \\dY_t &=\mu Y_tdt+\sigma Y_tdW_t\end{align}확률미분방정식의 기본형태인 Ornstein -Uhlenbeck process는 X_t=-\alpha X_t dt +\sigma dW_t 의 조건의 해를 다루고 있습니다. 이는 방정식의 해가 지수함수로 나타내는 경우의 간단한 case라고 볼 수 있습니다. (2차 미분 함수=0인 Case)
\begin {align}dX_t &= -\alpha X_tdt +\sigma dW_t \\df & = (\frac{\partial f}{\partial t} +\frac{\partial f}{\partial x}\mu+0.5\frac{\partial^2f}{\partial x^2})dt+\frac{\partial f}{ \partial x} \sigma dW_t \end {align}(15)번 식은 기본적인 식이 되죠? 여기에서 해는 Y_t=e^{\alpha t} X_t 로 주어지며, 이에 대한 미분 값을 15번 식에 대입하면 간단한 형태의 해를 구할 수 있습니다.
\frac{\partial Y_t}{\partial t}=\alpha e^{\alpha t}x ,\frac{\partial Y_t}{\partial x}= e^{\alpha t} ,\frac{\partial^2 Y_t}{\partial x^2}= 0 \\dY_t=\alpha e^{\alpha t}X_t dt+ e^{\alpha t}(- \alpha X_t dt+ \sigma dW_t)=\sigma e^{\alpha t} dW_t Y_t 값을 구하면, X_t 값을 구해서 Orstein Uhlenbeck process 형태를 나타내줄 수 있습니다.
\begin {align}Y_t &=Y_0+\sigma \int_0^t e^{\alpha s}s W_s \\&\because X_t= e^{-\alpha t} Y_t , X_t=e^{-\alpha t}(Y_0+\sigma \int_0^t e^{\alpha s}s W_s )\end {align}드디어 확률미분방정식의 마지막 입니다. 추가로 예시까지 있지만 이 부분은 생략 하겠습니다 ㅠㅠ (Diffusion 방정식) 열심히 Martingale에 대하여 배웠지만, 아직 까지 쓰지는 않았습니다. 이 Martingale의 성질을 이용하게 되면, 바로 결과 값을 확인해 줄 수 있었습니다. Grisanov는 확률밀도를 잘 정의만 해준다면, Martingale로 만들어 줄 수 있지 않을까 해서 시작 하였습니다.
밑줄 쳐진 곳이 핵십입니다. dQ 를 martingale filter M_t 를 도입해 dP를 다시 정의 해준 것입니다. 결론적으로는 평행 이동을 시켜서 해석하는 되는 꼴이 되기 때문에 몇 가지 조건 만 만족하면 쉽게 Martingale 형태로 변환이 가능합니다.
변환 과정은 크게 어렵지 않으니, 참고용으로만 확인 하시면 될 듯합니다. 추가적인 내용이 필요하시다면 답글 주시면 추가내용 작성하겠습니다.
긴글 읽어주셔서 감사합니다.
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