확률미분방정식 Stochastic Differential Equation (SDE)는 Wiener Process의 연장선이라고 말할 수 있습니다. 먼저 Wiener Process에 대해서는 여기 를 클릭해서 확인할 수 있습니다. Introduction 확률미분방정식 SDE는 보통적인 방법으로는 미분이 어렵습니다. 평균에 대한 미분 값을 가지고 해석을 해주게 됩니다. 이를 잘 정의하기 위해서 ITO가 식을 정리하게 되었는데, 이는 Wiener process에서는, 분산은 시간의 값으로 나타나는 성질을 응용한 것입니다. SDE를 해석 과정은 martingale이라는 것인지 확인을 해주게 됩니다. 해설 결과를 보게되면, Boundary Condition에 의존하는 것을 알 수 있습니다. 이는 금융상품에서 발행하는 옵션, 펀드상품에 해당합니다. 즉, 증권사에서 펀드나 옵션상품은 겉으론 좋아보일 순 있지만, 사는 고객들은 모두 손해보는 시스템이 됩니다. Martingale Martingale 특성은 t 도메인에서 s 도메인으로 바로 해석할수 있다는 장점이 있습니다. Martingale 특성을 통해 평균 값이 어떻게 표현 되는지 분석하는데 사용 됩니다. 특성 분석은 일반적인 함수가 확률 변수에 대하여 어떻게 나타나는지 알수 있습니다. Wiener Process 여러가지 성질들은 martingale 특성이 있습니다. \begin {align}E(W_t | \mathcal{F}_s) & =W_s \\ E(W_t^2 -t | \mathcal{F}_s) & =W_s^2-s \\E(exp(W_t -\frac{t}{2}) | \mathcal{F}_s) & =exp(W_s -\frac{s}{2})\\\end {align} 증명 과정은 간단하게 해볼 수 있는데 핵심 idea만 보이도록 하겠습니다. E(W_t - W_s +W_s \ \mathcal{F}_s) 여기서, t-s와 s는 서로 독립적( Orthogonal) 하기 때문에 0으로 나오게됩니다. pro...
