화공 연구소

  Rasterization Triangle (Scan Conversion) Rasterizing Polygons는 다각형을 Raserize화 시키는 방법이다. Convex Shape의 경우 쉽게 Trinagle 형태로 만들어 줄 수 있다. 반면 Concvae한 형태는 삼각형 형태로 만들기는 어렵다. Convex set은 어떠한 두 점을 연결하더라도, 도형안에 존재하는 집합이다. 이는 나중에 자세히 다루도록 하고, 삼각형 하나에 점이 존재하는지 확인해보자. Simple Algorithm 삼각형 안에 존재하는 영역에 점을 찍어주는 과정을 생각해보자.  단순하게 if 문을 통해 Triangle 영역 안에 있으면 점을 찍기만 하면 된다. 중요한 것은 "어떻게 삼각형 영역안에 존재하는가?" 를 판단하는 것이다. 직선 방정식에서 직선 위에 영역은 +로 확인하였다.  삼각형은 3가지의 직선으로 구성되어 있으며 직선 3개 방정식에 대하여 점이 모두 양수이면 삼각형 영역 안에 존재하는 것을 알 수 있다.  출처 : Utah university cs5600 wk3 ppt $$ \vec{L_1} = P_1-P_0 \\ \vec{L_2}=P_2-P_1 \\ \vec{L_3}=P_0-P_2 $$  이전에 있던 기억들을 다시 꺼내보면 직선 방정식은 다음과 같이 표현하였다. $$F(x,y)=(dy)x-(dx)y+dx(B)=0 $$ 여기서 B는 주어진 점에 의하여 결정 된다. $$F(x,y)=dy(x-x_0)-dx(y-y_0)=0 \\ \therefore B=dx(y_0)-dy(x_0) $$ 간단하게, min max grid를 만들고 나서 위의 조건들이 만족하는지 하나씩 확인만 해주면된다. Sweep-Line  1번째 방법은 살짝 무식한 방법이다.1번째의 경우 사각형 영역에 대해서 모두 Searching 함으로 불필요한 점까지 Searching 한다는 단점이 존재한다.  2번째 방법으로는 Line따라서 Sweeping 하면서 ...

--- --- 이전 포스팅 에서 직선인 경우 Bresenham Algorithm 을 다루었다. 이는 래스터화 시키는 알고리즘이다. 원에서도 해당 알고리즘이 적용 가능하다. 하지만, 해상도의 문제점을 가지고 있다. Bresenham Algorithm 직선의 경우 우측 이동(E), 우상측 이동 (NE)이동을 통해 묘사하였다. 원의 경우는 우측이동 (E) 와 우하측 이동(SE) 이동을 통해 해당 알고리즘을 적용해볼 수 있다. NE와 SE이동은 직선과 곡선의 차이점이 아니라, 기울기에 따라 달라지는 것이다. 원의 경우 8 대칭을 가지고 있다. 이 중 2번째 파이에(y,x) 해당하는 것을 묘사하는 것이 좋다. 만약 1번째 파이(x,y)에 해당하는 경우를 사용한다면, 기울기가 큰 경우가 있어 알고리즘 구현이 애매하다는 것을 알 수 있다. 원의 방정식은 다음과 같이 표현한다. Implict F ( x , y ) = x 2 + y 2 − r 2 F ( x , y ) > 0 → ( x , y )  Outside F ( x , y ) < 0 → ( x , y )  Inside F(x,y)= x^2+y^2-r^2 \\ F(x,y) >0 \to (x,y) \text{ Outside} \\ F(x,y) <0 \to (x,y) \text{ Inside} F ( x , y ) = x 2 + y 2 − r 2 F ( x , y ) > 0 → ( x , y )  Outside F ( x , y ) < 0 → ( x , y )  Inside 여기에서 마찬가지로, Outside에 해당하는 경우 Inside로 들어오기 위하여 SE 방향으로 이동, Inside인 경우 outside 방향인 E 방향으로 이동하면 된다. { F ( M ) ≥ 0 → S E F ( M ) < 0 → E \begin{cases} F(M) \ge 0 \to SE \\ F(M) <0 \to E \end{cases}...

 Line characterizations 직선은 1차원으로 일정한 기울기를 가진다는 특성이 있다. 직선의 수학적 표현 방법으로는 Explicit 하게 또는 Implicit 하게 표현할 수 있다.  2차원인 경우 다음과 같이 나타낸다. Explicit $$ y= mx+B$$ impicit $$ F(x,y)=ax+by+c=0$$ 두 개의 표현 방법은 실질적으로 같은 식이 된다. 수학적으로는 차이는 있지만, 방정식을 세우고 푸는데 있어서는 동일하다. $$ \\dy= y_1-y_0 \\ dx= x_1-x0 \\ y=\frac{dy}{dx}x+B$$ 우리는 Computing 하기 편하게 하기 위해서 위의 관계들을 조금 더 여러가지 관계식으로 알아두는 것이 좋다. $$ (dy)x+(-dx)y+(dx)B =0 \\ \therefore F(x,y)=(dy)x+(-dx)y+(dx)B \\ where, \, A=dy, B=-dx , C=Bdx $$  만약 2개의 점이 주어진다고 보았을 때, 2 점 사이에 존재하는 점은 다음과 같이 표현한다.  $$ P(t)=(1-t)P_0 + tP_1 $$  이러한 관계를 가지는 것을 Affine Set에 있다고 본다. <출처 : Lecture 2 - Convex set (oopy.io) > 대략적인 파이썬 코드를 가지고 그려보면, 다음과 같이 P0와 P1 사이에 점들이 존재하는 것을 알 수 있다. 여기서 P0는 1,1에 존재하고 P1은 2,2로 설정하였다.  Bresenham Algorithm Bresenham Algorithm은 Line Rasterization 시켜서 그리는 알고리즘이다. 쉽게 말하면, 선을 Pixel 처럼 나타낸다. 이는 앞으로 이미지를 픽셀처럼 나타내기 위한 기초적인 알고리즘 이다. 출처 :  Bresenham's line algorithm - Wikipedia Pixel의 좌표계는 정수만 허용하므로, 정수에 해당하는 값만 잘 맞추어 가져...

엔트로피 모두 파헤치기 엔트로피는 통계, 상태수,자발성 3가지로 표현할 수 있습니다. 여러 군데의 포스팅에서 엔트로피를 불확실성으로 표현합니다. 이에 대한 물리적인 의미를 설명드리고자 포스팅을 진행하게 됐습니다. 또한, 화학공학에서의 엔트로피는 어떻게 개발되고, 응용되었는지 다루고 있습니다. Motivation 통계적인 개념은 머신러닝, 반응공학 등등 실제로도 많은 곳에 쓰이고 있습니다. exponential 함수를 보게된다면 한번쯤은 엔트로피와 관련이 있는지 확인해봐야 합니다. 여기서 exponential 함수는 어떠한 확률이라는 숨은 의미를 가지고 있습니다. 머신러닝의 경우 Activation function (Sigmoid)라고 하죠? 어떠한 상태가 Activate 시키는지에 대한 판단하는 함수로 사용됩니다. 이러한 function도 exponential함수를 바탕으로 하고 있습니다. ​이와 비슷하게 Activate 시킨다는 것은 화학공학에서 반응속도 상수에서 볼 수 있습니다. 반응속도상수의 의미는 확률 * 빈도수 로 말해줍니다. 아레니우스 식에서 exponential 관련 Term이 확률을 의미하고, frequency factor (A)가 빈도수를 나타냅니다. 엔트로피 증가 법칙 - 열역학 제 2법칙 기본적으로 “열역학 제 2법칙으로 무질서도는 증가한다.” 정도는 모두 기억하고 있으실 것입니다. 여기서 무질서도란 기체분자가 어떠한 상태로 놓일 수 있는가 를 말해줍니다. 시작은 자발성의 여부를 판단하기 위해서 시작되었습니다. Rodoulph Clausius는 엔트로피의 개념은 가역적인 열전달에 따른 온도가 어떻게 될지에 대해서 생각해낸 것입니다. 이는 화학공학에서 흔히 알고 있는 최대 열효율의 개념을 설명하기 위해서 시작 된 것입니다. 온도는 분자의 운동량을 표현해주는 지표입니다. 기체의 분자들이 어떻게 운동하는지 알게되면, 우리는 전체 Energy에 대해서 알 수 있습니다. 하지만, 기체 분자의...